Diferença entre integrais definidos e indefinidos

O cálculo é um ramo importante da matemática e a diferenciação desempenha um papel crítico no cálculo. O processo inverso da diferenciação é conhecido como integração, e o inverso é conhecido como integral, ou simplesmente, o inverso da diferenciação dá uma integral. Com base nos resultados que eles produzem, as integrais são divididas em duas classes, a saber, integrais definidas e indefinidas.

Integral definida



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A integral definida def (x)é um NÚMERO e representa a área sob a curvaf (x)dex = aparax = b.

Uma integral definida tem limites superior e inferior nas integrais e é chamada de definida porque, no final do problema, temos um número - é uma resposta definitiva.



Integral indefinida

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A integral indefinida de f (x) é uma FUNÇÃO e responde à pergunta: 'Qual função quando diferenciada dáf (x)? '



Com uma integral indefinida, não há superior e limites inferiores da integral aqui , e o que vamos obter é uma resposta que ainda temxEstá nele e também terá uma constante (geralmente denotada porC) iniciar.

Integral indefinido geralmente fornece uma solução geral para a equação diferencial.

Integral indefinido é mais uma forma geral de integração e pode ser interpretado como a anti-derivada da função considerada.

Suponha diferenciação de funçãoFleva a outra funçãof, e a integração de f dá a integral. Simbolicamente, isso é escrito como

F (x) = ∫ƒ (x) dx

ou

F = ∫ƒ dx

onde ambosFeƒsão funções dex, eFé diferenciável. Na forma acima, é chamada de integral de Reimann e a função resultante acompanha uma constante arbitrária.

Uma integral indefinida freqüentemente produz uma família de funções; portanto, a integral é indefinida.

Integrais e processos de integração estão na coração de resolver equações diferenciais. No entanto, ao contrário das etapas de diferenciação, as etapas de integração nem sempre seguem uma rotina clara e padrão. Ocasionalmente, vemos que a solução não pode ser expressa explicitamente em termos de função elementar. Nesse caso, a solução analítica é freqüentemente dada na forma de uma integral indefinida.

Teorema Fundamental do Cálculo

A integral definida e a integral indefinida estão ligadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo da seguinte forma: Para calcular umintegral definida, encontre ointegral indefinida(também conhecido como anti-derivado) da função e avaliar nos pontos finaisx = aex = b.

A diferença entre integrais definidos e indefinidos ficará evidente quando avaliarmos os integrais para a mesma função.

Considere o seguinte integral:

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ESTÁ BEM. Vamos fazer os dois e ver a diferença.

Para integração, precisamos adicionar um ao índice que nos leva à seguinte expressão:

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Neste momentoCé apenas uma constante para nós. Informações adicionais são necessárias no problema para determinar o valor preciso deC.

Vamos avaliar a mesma integral em sua forma definida, ou seja, com os limites superior e inferior incluídos.

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Falando graficamente, agora estamos computando a área sob a curvaf (x) = y3entrey = 2ey = 3.

O primeiro passo nesta avaliação é o mesmo que a avaliação integral indefinida. A única diferença é que desta vez não adicionamos a constanteC.

A expressão, neste caso, é a seguinte:

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Esta vez leva a:

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Essencialmente, substituímos 3 e 2 na expressão e obtivemos a diferença entre eles.

Este é o valor definitivo em oposição ao uso de constanteCmais cedo.

Vamos explorar o fator constante (em relação à integral indefinida) com mais detalhes.

Se o diferencial dee3é3 anos2, então

3 anos2dy = y3

Contudo,3 anos2pode ser o diferencial de muitas expressões, algumas das quais inclueme3-5,e3+7, etc. Isso implica que a reversão não é única, pois a constante não é contabilizada durante a operação.

Então, em geral,3 anos2é o diferencial dee3+ COndeCé qualquer constante. Aliás, C é conhecido como o‘Constante de integração’.

Escrevemos isso como:

3 anos2.dx = y3+ C

As técnicas de integração para uma integral indefinida, como consulta de tabela ou integração Risch, podem adicionar novas descontinuidades durante o processo de integração. Essas novas descontinuidades aparecem porque os anti-derivados podem exigir a introdução de logaritmos complexos.

Logaritmos complexos apresentam uma descontinuidade de salto quando o argumento cruza o eixo real negativo, e os algoritmos de integração às vezes não conseguem encontrar uma representação onde esses saltos cancelam.

Se a integral definida é avaliada calculando primeiro uma integral indefinida e, em seguida, substituindo os limites de integração no resultado, devemos estar cientes de que a integração indefinida pode produzir descontinuidades. Em caso afirmativo, adicionalmente, devemos investigar as descontinuidades no intervalo de integração.

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